对称矩阵的含义
对称矩阵的行列式？
对称矩阵的行列式？
对称行列式简便公式是D|A|detAdet(aij)，行列式中若关于主对角线对称的元素仅符号相反，即aij-aji，则行列式叫做斜对称行列式。对于n阶斜对称行列式d有关系式d(一1)nd，从而可知奇数阶的斜对称行列式总是等于0。
对称正交阵的特点？
是对称矩阵（AA^T）、并且是正交矩阵A^TA^{-1}的实矩阵AA^TA^{-1}它的特征值为正负1,
对称矩阵一定是方阵吗？
一般来讲不是的，非对称的正定矩阵用得比较少而已。一般正定矩阵的定义：A是n阶实方阵，如果对任何n维非零向量x有x^T*A*x0，那么称A是正定矩阵。
对于复矩阵，还需要对二次型取实部：A是n阶复方阵，如果对任何n维非零向量x有Re(x^H*A*x)0，那么称A是正定矩阵。A是正定矩阵当且仅当(A A^H)是Hermite正定矩阵。通常的教材上只讲对称正定矩阵或者Hermite正定矩阵，主要是因为对称性和正定性放在一起才能得出相当好的结论，所以很少研究非对称的正定矩阵。
为什么对称矩阵一定有正交矩阵使得它为对角矩阵？
最简单的证明是通过这个定理：复数域上的方阵 A 酉相似于对角阵 《》A 为规范阵
由定理很容易理解，相应的酉阵其实是 A 的特征向量组成（由此可知n阶规范阵必有n个特征向量）
实对称阵是
1. 是实规范阵，
2. 特征值必为实数
3. 由 2 因此对应的特征向量必然是实数向量乘一个可以为复数的系数。
由定理，实对称阵酉相似于对角阵，相应的酉阵省略复数系数就可以转化成实数阵。
而实数酉阵就是正交阵。
所以对实对称阵 A，必存在正交阵 T T-1*A*T 对角阵。
为什么a是对称矩阵b也是对称矩阵？
根据对称矩阵的性质，就是矩阵的转置矩阵原矩阵，把A的转置矩阵记为A#39
那么AA#39
根据转置矩阵的性质可知（kA^n）#39kA^n，即A的任何次方再乘以任何常数也是对称矩阵
依据是转置矩阵的运算性质：
.(kA)#39kA#39(k为实数)和(AB)#39B#39A#39
那么A^nAAA……A（n个A相乘）A#39A#39A#39……A#39（n个A#39相乘）（A^n）#39
所以A^n是对称矩阵。所以kA^n也是对称矩阵。
那么A^5是对称矩阵，-4A3是对称矩阵，E当然也是对称矩阵。
那么B是由这三个对称矩阵相加得到的，所以也是对称矩阵。